UJI NORMALITAS MENGGUNAKAN UJI CHI KUADRAT, UJI KOLMOGOROF SMIRNOV (KS) DAN UJI LILIEFORS

UJI NORMALITAS MENGGUNAKAN

UJI CHI KUADRAT, UJI KOLMOGOROF SMIRNOV (KS) DAN UJI LILIEFORS]

A.   Uji Normalitas – Chi Kuadrat ( X²)

Uji normalitas dengan menggunakan uji Chi Kuadrat disebut juga Uji Goodness of Fit. Menggunakan pendekatan penjumlahan penyimpangan data observasi tiap kelas dengan nilai yang diharapkan. Uji normalitas datanya disajikan secara berkelompok. Data berbentuk nominal atau ordinal.

Ciri-Ciri Distribusi Chi Kuadrat

·         Selalu positif

·         df = k – 1, dimana k adalah jumlah kategori (variabel). Jadi bentuk distribusi chi-kuadrat tidak ditentukan banyaknya sampel, melainkan banyaknya derajat bebas.

·         Bentuk distribusi chi-kuadrat menjulur positif. Semakin besar derajat bebas, semakin mendekati distribusi normal. Rumus umum :

Keterangan :
Oi        = frekuensi hasil pengamatan pada klasifikasi ke-i
Ei         = frekuensi yang diharapkan pada klasifikasi ke-i

X²        = Nilai Chi-Kuadrat

Uji normalitas dengan menggunakan Chi-Kuadrat dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

1.      Mencari nilai terbesar dan terkecil

2. Mencari nilai rentang
3. Mencari banyak kelas
4. Mencari panjang kelas interval (i)
5. Membuat tabel distribusi frekuensi
6. Mencari rata-rata (mean)
7. Mencari simpangan baku (standar deviasi)
8. Membuat daftar frekuensi yang diharapkan dengan cara sebagai berikut :

Ø  Menentukan batas kelas, yaitu ujung bawah kelas interval dikurangi 0.5 dan kemudian ujung atas kelas interval ditambah 0.5

Ø  Mencari nilai Z menggunakan batas bawah dan batas atas kelas interval dengan rumus:

Ø  Mencari luas 0-Z dari Tabel Kurva Normal dari 0-Z dengan menggunakan Z hitung.

Ø  Mencari selisih luas tiap kelas interval dengan cara mengurangkan nilai-nilai 0-Z tepi bawah dengan tepi atas.

9.      Mencari frekuensi yang diharapkan  dengan cara mengalikan luas tiap interval dengan jumlah responden.

10.  Mencari Chi-Kuadrat hitung

1.      Membandingkan nilai X²  hitung dengan X²  tabel      

Kriteria:

Jika X² _hitung < X² _tabel maka H₀ diterima dan untuk hal lainnya H_0­ ditolak.

Contoh :

Akan diuji normalitas untuk data Kemampuan Pemecahan Masalah Matematika Siswa Kelas VIII G SMP Negeri 407 Jepara  pada Materi Bangun Ruang. Apakah data tersebut berdistribusi normal? Datanya adalah sebagai berikut :

No.	X	No.	X.	No.	X	No.	X	No.	X
1.	58	16.	51	31.	57	46.	72	61.	78
2.	57	17.	65	32.	51	47.	78	62.	71
3.	57	18.	85	33.	52	48.	66	63.	45
4.	51	19.	72	34.	51	49.	48	64.	50
5.	51	20.	78	35.	65	50.	71
6.	52	21.	58	36.	78	51.	78
7.	71	22.	59	37.	71	52.	70
8.	79	23.	58	38.	71	53.	65
9.	72	24.	64	39.	64	54.	37
10.	75	25.	64	40.	58	55.	58
11.	58	26.	58	41.	50	56.	50
12.	62	27.	71	42.	44	57.	50
13.	57	28.	64	43.	58	58.	58
14.	57	29.	78	44.	48	59.	48
15.	57	30.	78	45.	65	60.	67

Jawab :

Hipotesis :

H₀ : data pada sampel berasal dari populasi yang berdistribusi normal

H₁ : data pada sampel berasal dari populasi yang tidak berdistribusi normal

Langkah  pengujiannya sebagai berikut :

1.      Mencari nilai terbesar terbesar dan terkecil

            Nilai terbesar = 85

            Nilai terkecil = 37

2.      Mencari nilai rentang (R)

            R = skor terbesar – skor terkecil

            R = 85 – 37

              = 58

3.      Mencari banyak kelas (BK)

            BK = 1 + 3,3 log n

            BK = 1 + 3,3 log 64

            BK = 1 + 3,3 (1,81)

            BK = 1 + 3,3 (1,81)

            BK = 1 + 5,973

            BK = 6,973 dibulatkan menjadi 7

4.      Mencari nilai panjang kelas (i)

1.      Membuat tabel distribusi frekuensi

No	Kelas Interval	f	Nilai Tengah (xi)
1.	37 - 44	2	40,5
2.	45 - 52	15	48,5
3.	53 - 60	16	56,5
4.	61 - 68	11	64,5
5.	69 - 76	11	72,5
6.	77 - 84	8	80,5
7.	85 - 92	1	88,5
jumlah		64

2.      Mencari rata-rata (mean)

3.      Mencari simpangan baku (standar deviasi)

No.	Kelas Interval
1.	37-44	2	40,5	-21,25	451,5625	903,125
2.	45-52	15	48,5	-13,25	175,5625	2633,4375
3.	53-60	16	56,5	-5,25	27,5625	441
4.	61-68	11	64,5	2,75	7,5625	83,1875
5.	69-76	11	72,5	10,75	115,5625	1271,1875
6.	77-84	8	80,5	18,75	351,5625	2812,5
7.	85-92	1	88,5	26,75	715,5625	715,5625
		64				8860

1.      Membuat daftar frekuensi yang diharapkan dengan cara sebagai berikut :

1)      Menentukan Tepi Bawah dan Tepi Atas Kelas Intervalt :

No	Kelas Interval	Batas bawah kelas	Batas atas kelas
1.	37 - 44	36,5	44,5
2.	45 - 52	44,5	52,5
3.	53 - 60	52,5	60,5
4.	61 - 68	60,5	68,5
5.	69 - 76	68,5	76,5
6.	77 - 84	76,5	84,5
7.	85 - 92	84,5	92,5

2)      Mencari nilai Z menggunakan Tepi Bawah dan Tepi Atas Kelas Interval

3). Mencari selisih luas tiap kelas interval dengan cara mengurangkan nilai-nilai 0-Z tepi bawah dengan tepi atas

        

1.      Mencari frekuensi yang diharapkan  dengan cara mengalikan selisih luas tiap interval dengan jumlah responden (n = 64)

Selisih Luas 0-Z	Ei
0,0569	3,64
0,1442	9,23
0,2385	15,26
0,2595	16,61
0,1768	11,32
0,0801	5,13
0,0226	1,45

Frekuensi yang Diharapkan (Ei) dari Hasil Pengamatan (Oi) untuk Variabel Kemampuan Pemecahan Masalah Matematika Siswa Kelas VIII G SMP Negeri 407 Jepara pada Materi Bangun Ruang

1.      Mencari Chi-Kuadrat hitung 

1.      Membandingkan X² hitung dengan X² tabel

Dengan membandingkan  X² hitung dengan nilai X² tabel untuk alpha =0,05 dan derajad kebebasan (dk) = k – 1 = 7 – 1 = 6, maka dicari pada tabel Chi-Kuadrat didapat  X²tabel = 12,6 dengan kriteria pengujian sebagai berikut :

Jika X² hitung  X² tabel, artinya distribusi data tidak normal

Jika X² hitung < X²  , artinya data berdistribusi normal.

Ternyata X² hitung < X²,atau 8,077 < 12,6 , maka H₀ diterima. Jadi, data Kemampuan Pemecahan Masalah Matematika Siswa Kelas VIII G SMP Negeri 407 Jepara pada Materi Bangun Ruang adalah berdistribusi normal. Sehingga, analisis uji selanjutnya dapat dilanjutkan.

Kurva daerah penerimaan H₀

A.    UJI KOLMOGOROV SMIRNOV

Metode Kolmogorov-Smirnov tidak jauh beda dengan metode Lilliefors. Uji Kolmogorov Smirnov digunakan untuk menguji apakah data itu berdistribusi normal atau tidak.Langkah-langkah penyelesaian dan penggunaan rumus sama, namun pada signifikansi yang berbeda. Signifikansi metode Kolmogorov-Smirnov menggunakan tabel pembanding Kolmogorov-Smirnov, sedangkan metode Lilliefors menggunakan tabel pembanding metode Lilliefors.

PERSYARATAN

a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)

b. Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi

c. Dapat untuk n besar maupun n kecil.

HIPOTESIS UJI :

H₀        : Data populasi berdistribusi normal

H₁        : Data populasi berdstribusi tidak normal.

SIGNIFIKANSI UJI :

nilai terbesar | ft - Fs | dibandingkan dengan nilai tabel Lilliefors.

·         Jika L_hitung   <   L_tabel, maka :

§  Ho diterima

§  H₁ ditolak.

·         Jika L_hitung    >    L_tabel , maka :

§  Ho ditolak

§  H1 diterima

FT                = Probabilitas komulatif normal FS                = Probabilitas komulatif empiris  Dhitung        = | ft - Fs | Dtabel               = D(α,n) dilihat pada tabel kolmogorof smirnov

TABEL NILAI KRITIS L UNTUK UJI KOLMOGOROV SMIRNOV  :

LANGKAH-LANGKAH PENGUJIAN :

            Suatu penelitian tentang jumlah hasil panen kedelai di 15 kecamatan di Kabupaten Gresik tercatat dalam kwintal 10, 13, 15, 11, 8, 16, 10, 11, 12, 9 ,11, 14, 9, 18 dan 12 kwintal. Selidikilah dengan α =5% , apakah data tersebut diambil dari populasi yang berdistribusi normal ? Gunakan Uji Kormogorov Smirnov.

Hipotesis Uji :

                        H₀ = Sampel berasal dari populasi yang berdistribusi normal.

                        H₁ = Sampel berasal dari populasi yang berdistribusi tidak normal.

1.      Urutkan data dari yang terkecil ke yang terbesar lalu cari rata-rata, simpangan baku (standar deviasi) dari sampel data.

Keterangan :

X_i        = Data ke-i
f_i          = Frekuensi ke-i

1.      Mencari (Z_{tabel )} pada tabel distribusi normal

1.      Menentukan D_hitung

Keterangan :

Xi = Angka pada data

Z = Transformasi dari angka ke notasi pada distribusi normal

FT = Probabilitas komulatif normal

FS = Probabilitas komulatif empiris

v    Mencari nilai D_(α,n)  dan Dmax dengan α = 0,05 dan n = 15 maka diperoleh :

-          D_(0,05,15) / D_tabel= 0,338

-          Dhitung = 0,161

-          Daerah kritis : Dhitung<Dtabel

H₀ diterima karena Dhitung < Dtabel atau 0,161 < O,338

v    Kesimpulan : jumlah hasil panen kedelai di 15 kecamatan di Kabupatn Gresik memiliki data yang normal

 UJI LILIEFORS

Uji liliefors digunakan untuk menguji apakah data itu berdistribusi normal atau tidak.

Tedapat persyaratan untuk menggunakan mettode liliefors ini, yaitu:

1.      Data berskala interval atau ratio (kuantitatif).

2.      Data tunggal atau belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi.

3.      Dapat untuk n besar maupun n kecil.

HIPOTESIS UJI :

H₀        : Data populasi berdistribusi normal

H₁        : Data populasi berdstribusi tidak normal

SIGNIFIKANSI UJI :

nilai terbesar | F(zi) - S(zi) | dibandingkan dengan nilai tabel Lilliefors.

·         Jika L_hitung <   L_{tabel liliefors} , maka :

§  Ho diterima

§  H₁ ditolak.

·         Jika L_hitung >    L_{tabel liliefors} , maka :

§  Ho ditolak

§  H1 diterima

F(Zi)                 = P_(Z­i ≤ Z_tabel  (peluang)

S(Zi)                 = proporsi Z₁ , Z_{2 ,} Z_{3 ,} Z_{4 ,} ... Z_n yang ≤ Z_i .

L_hitung                  = | F(zi) - S(zi) |

L_{tabel liliefors}     = dilihat pada tabel liliefors

TABEL NILAI KRITIS L UNTUK UJI LILIEFORS :

LANGKAH-LANGKAH PENGUJIAN :

            Contoh : misalkan sampel dengan data : 23, 27, 33, 40, 48, 48, 57, 59, 62, 68, 69, 70 telah diambil dari sebuah opulasi.

Hipotesis Uji :

                        H₀ = Sampel berasal dari populasi yang berdistribusi normal.

                        H₁ = Sampel berasal dari populasi yang berdistribusi tidak normal.

5.      Urutkan data dari yang terkecil ke yang terbesar lalu cari rata-rata, simpangan baku (standar deviasi) dari sampel data.

7.      Mencari (Z_{tabel )} pada tabel distribusi normal